MƯỜI PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN THƯỜNG ĐƯỢC DÙNG TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

                                                                          Nguyễn Thanh Sơn

                                                                              Trường THPT Hoàng Hoa Thám

  Trong chương trình toán trung học phổ thông, phần dành cho bất đẳng thức (BĐT) là:  5 tiết trong đó lý thuyết giáo khoa là: 3 tiết, phần bài tập là: 2 tiết. Nếu học sinh không tự giác và  chịu khó nghiên cứu, làm bài tập thêm ở nhà thì việc nắm vững những kiến thức cơ bản về BĐT là rất hạn chế. Phải nói rằng phương pháp (PP) chứng minh  BĐT rất đa dạng, chủ yếu dựa vào đặc thù riêng của từng BĐT. Nhưng chúng ta cần chú ý rằng có thể áp dụng nhiều cách khác nhau để chứng minh BĐT, tuy nhiên có nhiều bài phải phối hợp nhiều PP  một cách hợp lý. Sau đây chúng tôi muốn trình bày 10 PP  chứng minh BĐT đơn giản thường được dùng trong chương trình toán trung học phổ thông để chứng minh các BĐT sơ cấp.

Qua thực tế giảng dạy ở trường phổ thông chúng tôi thấy các em học sinh không nắm vững các tính chất cơ bản của BĐT do đó thường mắc phải một số sai lầm sau đây khi chứng minh BĐTQ:

+ Trừ các vế tương ứng của hai BĐT cùng chiều.

+ Bình phương hai vế của một BĐT, mà không kiểm nghiệm xem hai vế của BĐT đó có dương hay không.

+ Sử  dụng các phép biến đổi không tương đương.

Vì khuôn khổ của bài viết chúng tôi chỉ xin nêu cho mỗi PP là một hay một vài ví dụ điển hình, mong quý độc giả thông cảm.

1/ PP dùng định nghĩa: (PP mà em học sinh nào cũng phải biết đó là PP dùng định nghĩaP:

Để chứng minh BĐT  A > B nào đó là đúng, ta cần chỉ ra rằng A – B > 0 hoặc ngược lại khi cần chứng minh A – B > 0 ta có thể đưa về BĐT A > B để chứng minh.

VD1: Chứng minh rằng vưói mọi x, y ta đều có:

x⁴ + y⁴    xy³ + x³y.

Giải:

HiệuH:  x⁴ + y⁴ – ( xy³ + x³y) = ( x⁴ – xy³ ) + ( y⁴ – x³y ) = x( x³  - y³ ) – y( x³ – y³ ) =

            ( x- y ) ( x³ – y³ ) = ( x- y )² ( x² + xy + y² ) = ( x – y )² [ ( x + )² + y² ] 0

Vậy BĐT đã cho là đúng. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = y.

VD2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta đều có:

Giải:

HiệuH: - =  -  =

==

=  0.

Vậy: BĐT được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi: a = b = c.

2/ PP dùng các đồng nhất thức:

VD1: Chứng minh rằng các số a, b thoả mãn điều kiện:

a² + ab+ b²   thì a⁴ + (a+b)⁴ +b⁴  1

Giải:

Ta sử dụng đồng nhất thức: a⁴ + b⁴ + (a+b)⁴ = 2(a²  + ab + b²)²

(Đẳng thức này dễ dàngừ được chứng minhÑ).

Ta có: a⁴+(a+b)⁴+b⁴ = 2(a²+ab+b²)²  2 = 1.

Vậy BĐT được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi:  a²+ab+b² = .

VD2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c, sao cho a+b+c 0, ta có:

  0.

Giải:

Nếu a = b = c thì BĐT là hiển nhiên. Ngược lại thì sử dụng đồng nhất thức:

=  (đẳng thức này đã được chứmh minhñ).

Ta có:  =   0.

Vậy BĐT đã được chứng minh.Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c.

3. PP dùng phép biến đổi tương đương:

Trước hết ta cần nhắc lại: Hai BĐT được gọi là tương đương nếu BĐT này đúng thì BĐT kia cũng đúng và ngược lại.

Phép biến đổi được gọi là tương đương, nếu nó biến đổi một BĐT thành BĐT khác, tương đương với nó.

VD1: Cho các số a > 0, b > 0. Chứng minh rằng:

  .

Giải:

Do a > 0, b > 0, nên ta có thể chia hai vế của BĐT cho , và ta được:

 1, hay 2   ( Do  > 0). Hay :

  0 hay (  0. BĐT này đúng vậy BĐT đã cho đúng.Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.

VD2: Cho a 2, b 2. Chứng minh rằng: ab a+b.

Giải:

Viết lại BĐT đã cho dưới dạng:  ab – a – b + 1 1

Hay: a(b – 1) – (b – 1) 1 hay:  (a – 1) (b – 1) 1. (*).

Do a 2, b nên: a - 1 1, b - 1 1, vậy BĐT (*)đúng nên BĐT đã cho đúng. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a ñ = b = 2.

4. PP phản chứng:

VD1: cho các số a₁, a₂, b₁, b₂ liên hệ với nhau bởi hệ thức: a₁+ a₂ =  2b₁b_{2 .}  Chứng minh rằng ít nhất một trong hai BĐT sau đây là đúng: b a₁ ; b  a₂.

Giải:

Giả sử cả hai BĐT đều không đúng, tức là: b< a₁ ;  b< a_2.

      hay b - a₁ < 0;   b- a₂  < 0  (b- a₁)  + ( b- a₂ ) < 0  (*)

Theo giả thiết T: a₁ + a₂ = 2b₁b_2, do đó  (*)tương đương với t: b+b-2b₁b₂ < 0 hay

(b₁ – b₂ )² < 0 điều này không thể xẩy ra. Do vậy điều giả sử là sai nên điều phải chứng minh là đúng.

VD2: Cho 0 < a<1;  0 < b < 1; 0 < c < 1.Chứng minh rằng một trong ba BĐT sau đây là sai:a(1 - b) >  ;   b(1 - c) >  ;   c(1 - a)  > .

Giải:

Giả sử cả ba BĐT đều đúng. Khi đó nhân các vế tương ứng ta thu được:

[a(1 – b)].[b(1 – c)].[c(1 – a)] > . . (*)

Măt khác hiển nhiên ta có: a² – a + = (a -)²  0 nên 0a(1 – a) 

Tương tự ta cũng có: 0b(1-b);   0 c( 1- c).

Nhân  vế  với vế các  BĐT này ta được [a(1-a)][b(1-b)][c(1-c)]     ..     

Kết hợp với (*)ta đượct:..    > . .   điều nay không thể xẩy ra, vậy phải có ít nhất một BĐT là sai.

5. PP ứng dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai:  

VD1: Chứng minh rằng với mọi a, b, ta đều có:a² + 5b² - 4ab + 2a - 6b + 3 > 0.

Giải:

Ta viết vế trái của BĐT dưới dạng một tam thức bậc hai theo biến a:

     f(a) = a² + 2(1 – 2b)a + 5b² – 6b + 3.

Khi đó biệt thức:  = (1 – 2b)² – (5b² - 6b + 3) = 1 – 4b + 4b² – 5b2 + 6b – 3 =

                                  = -b² + 2b – 2 = - (b – 1)² – 1 < 0 .

Do vậy, f(a) > 0, với  mọi a. BĐT được chứng minh.

VD2: Chứng minh rằng: (a² – b²)(c² – d²)  (ac – bd)².

Giải:

Nếu c² = d² thì BĐT rõ ràng là đúng.Còn nếu c²  d², ta xét tam thức bậc hai:

 f(t) = (c² – d²)t² – 2(ac – bd)t + a² – b² = (c²t² – 2act + a²) – (d²t² – 2bdt + b²) =

       =  (ct – a)² – (dt – b)² = [(c + d)t – (a + b)][(c – d)t – ( a – b)]. Vậy tam thức bậc hai f (t) có hai nghiệm: t₁ =  ; t₂ = . Do vậy, biệt thức   0  hay

(ac – bd)² – (c² – d²)(a² – b²)  0 hay là (ac – bd)²  (c² – d²)(a² – b²).

Vậy BĐT đã được chứng minh.

6. PP sử dụng các tính chất đặc biệt của hàm số:

VD1: Chứng minh rằng với mọi x > 1/10 ta đều có:10^x + lgx > 0. (*)

Giải:

Nhận xét rằng các hàm số 10x và lgx là những hàm số đồng biến.

Xét  f (x) = 10^x + lgx.  Ta có: f() =  + lg =  - 1 > 0.

Do vậy, khi x > , thì f(x) > f() > 0. BĐT (*)  đã được chứng minh.

VD2: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì:

 < 2.

Giải:

Do a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác nên các phân số ở vế trái của BĐT là những phân số đúng (phân số có tử số nhỏ hơn mẫu sốp). Do vậy nếu ta thêm vào tử số  và mẫu số một số dương thì các phân số mới này nhận giá trị lớn hơn phân số ban đầu:

.

Cộng các vế tương ứng của các BĐT này ta có:

. Vậy BĐT được chứng minh.

7. PP ứng dụng đạo hàm để chứng minh BĐT:

VD 1: Cho các số a, b, c thoã mãn các điều kiện: a ; . Chứng minh rằng khi đó với mọi  x   ta có: x2  ax2 + bx + c.

Giải:

Xét hàm số: f(x) = x⁴ – (ax² + bx + c).Khi đó f (x) = 4x³ - (2ax + b), f”(x) = 12x² –2a.

Khi x1 thì f”(x)  12 – 2a = 2(6 – a) 0. Do vậy f’ (x) là một hàm số đồng biến khi x 1.

Ta có: f’(1) = 4 – (2a + b) = 4 – 2a –b 4 – 2.6 – (-8) = 0. Suy ra f’(x)f’(1)0,

khi x1.Do vậỵ hàm số f (x) là một hàm số đồng biến khi x .Vậy f (x)f(1) khi x1

Mà f (1) = 1 – (a + b + c) 1 – (6 – 8 + 3) = 0. Nên f (x)0 khi x1.

BĐT được chứng minh.

VD2: Chứng minh rằng với mọi x ta đều cự:

x⁵ + (1 – x)⁵

Giải:

Xét hàm số:f(x) = x⁵ + (1 – x)⁵ . Ta có:

   f’(x) = 5x⁴ – 5(1 – x)⁴ = 5[x² + (1 – x)²](2x – 1).

   f’’(x) = 20x³ + 20(1- x)³ = 20 [x³ = (1 – x)³].

   f’(x) = 0 chỉ tại x = , tại đó f’’ (x) = f’’() > 0. Do đó hàm số f (x) đạt cực tiểu duy nhất tại x =  nên giá trị f ()là giá trị nhỏ nhất của hàm sốl:

x                                         

f’(x)                   -                0                       +

f(x)   

                                        f( )             

f(x) = . Vậy BĐT được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = .

8. PP Sử dụng các BĐT quan trọng đã biết:

Thông thường trong chương trình THPT, các BĐT Côsi và Bunhiacốpski là những BĐT quan trọng, được sử dụng rộng rãi nhất. Ta háy xét một số ví dụ ứng dụng trực tiếp các BĐT này:

VD1:Cho a, b, c là 3 số dương và a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

Giải:

Aựp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm ta có:

1 + a = a + b + c + a  4

1 + b = a + b + c + b

1 + c = a + b  + c + c

Nhân các vế tương ứng của ác BĐT này ta có:

(1 + a)(1+b)(1+c).

Do a > 0; b > 0; c > 0 nên abc > 0 chia hai vế của BĐT này cho abc ta được:

 hay .Vậy BĐT đã được chứng minh.

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi: a = b = c = 1/3.

VD2: Cho các số : a, b, c thoả mãn các điều kiện: a² + b² + c² = 1.Chứng minh  rằng:

| a + 2b + 3c | .

Giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacôpski ta được:

(a +2b + 3c)² = (1.a + 2.b +3.c)² (1² + 2² + 3²)(a² + b² + c²)

Hay: (a + 2b + 3c)²  14.1 vậy | a + 2b + 3c|.

9. PP lượng giác:

VD : Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác vuông có  c  là cạnh huyền x, y, z là các số liên hệ bởi hệ thức: ax + by = cz .

Chứng minh rằng:x² + y² z². (*)

Giải:

Ta có sinA = a/c; cosA = b/c (A là góc nhọn đối diện cạnh aA) .Do vậy có thể viết hệ thức đã cho dưới dạng: x.sinA + y.cosA = z. (**)

Nếu x = y = 0 thì z = 0 . Do vậy (*)đúng. Nếu x2 ñ + y2 > 0 khi đó ta chia hai vế  (**) cho , ta được:

. (***)

Ta chọn góc  sao cho cos = ; sin = ( Góc  luôn luôn tồn tạivì: .Khi đó (***)có dạngc:

Cos hay sin(A+= .Từ đó ta suy ra:

 hay z²  x² + y².BĐT được chứng minh.

10. PP Qui nạp

VD: Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta đều có: 2ⁿ⁺² > 2n + 5.

Giải:

Với n = 1 ta có 2¹⁺² = 2³ = 8 > 2.1+5 hay BĐT đúng.

Giả sử BĐT đúng với n = k, tức là 2^k+2 > 2k + 5, ta chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1, tức là 2 ^(k+1)+2 > 2(k+1) + 5.

Thật vậy theo giả thiết ta có:

2^k+1+2 = 2.2^k+2 > 2(2k +5) = 4k +10 >2k + 7 + 2(k+1) + 5.Vậy BĐT đúng với mọi n nguyên dương.

                     ------------------------------------------------------------------

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.     Trần Đức Huyên(1998). Phân loại và phương pháp giải toán Hình học. NXB Trẻ TP Hồ Chí Minh.

2.     Vũ Đình Hoà (2004). Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT: Bất Đẳng thức hình học. NXB Giáo dục Hà Nội.

3.     Nguyễn Cam (1997). Giải toán Đại số: Bất Đẳng thức-Bất phương trình. NXB Trẻ, TP Hồ Chí Minh.

4.     Phan đức Chính (1994). Bất đẳng thức. NXB Giáo dục, Hà Nội.

5.     Phan Huy Khải (1998). 1000 bài toán sơ cấp Bất đẳng thức. NXB Hà Nội.

6.     Trần Đức Huyên (1997). Bất Đẳng thức. NXB Trẻ TP Hồ Chí Minh.

7.     Trần Văn Kỷ (1998). 375 Bài toán Bất đẳng thức. NXB TP Hồ Chí Minh.

8.     Nhiều tác giả (2006,2007,2008). Sách Giáo khoa môn Toán các lớp 10,11,12. NXB Giáo dục, Hà Nội.

                 _________________________________________________________